直/折线分割平面

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直线分割平面

在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。

当添加第N条，为了使平面最多， 则第N条直线要与前面的N-1条直线都相交，且没有任何三条直线相交一个点。
则添加第N条直线会多N-1个交点。由于每增加N个交点，就增加N+1个平面，所以添加第N条直线来会在之前的基础上增加N个平面，用F[i]表示i条直线能把平面切分成的个数。 

1
2
3
F[1]=2; 
F[n]=F[n-1]+n; 
递推得F[n]=1+n*(n+1)/2

折线分割平面

平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?

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分析先以问题一作为基础，

再看每次增加两条相互平行的直线的情况。

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根据题型一分析可以知道

当第N次添加时，前面已经有2N-2条直线了，所以第N次添加时，第2N-1条直线和第2N条直线都各能增加2*（n-1）+1 个平面。

所以第N次添加增加的面数是2[2(n-1) + 1] = 4n - 2 个。因此，总面数应该是

1 + 4n(n+1)/2 - 2n = 2n^2 + 1

如果把每次加进来的平行边让它们一头相交

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则平面1、3已经合为一个面，因此，每一组平行线相交后，就会较少一个面，

所以所求就是平行线分割平面数减去N，为2n^2 -n + 1.

利用上述总结公式f(n)=2n^2 -n + 1

拓展

说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？

说明1：“Z”的两端应看成射线

说明2：“Z”的两条射线规定为平行的

分析：

设f(n)表示n个z字型折线至多平面划分数。

现在增加一条边a，和3(n-1)条线都相交，增加3(n-1)+1个区域。

再增加一条边b，与a平行，同样增加3(n-1)+1个区域。

最后增加一条边c，与已有的边都相交，增加3(n-1)+3个区域。又因为要与a，b形成锯齿形，所以又减去2*2个区域

所以得出递推式 f(n)=f(n-1)+9*(n-1)+1

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